Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], el área de la región limitada por la gráfica de f, l eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:
Para realizar el cálculo o mejor dicho la representación del área con el Software Mathematica debemos de declarar la integral para conocer su área, por ejemplo:
Sea 
una región acotada por los puntos [0,4], el área de la región se presenta con la integral definida
Integramos.
El resultado de la integración viene dado por:
Ahora sustituimos los máximos y mínimos en este caso el Máximo es = 4 y el mínimo es = 0
El área bajo la curva de la parábola limitada en el intervalo [0,4] es 32/3, para graficar la función, utilizaremos el siguiente comando: Plot[ función,{variable, limite inferior, limite superior}]
De modo que obtendremos el siguiente gráfico.
Si queremos sombrear el área bajo la curva agregamos el parámetro Filling –> Bottom
de modo que la función queda
y el gráfico queda.
En Derive6 esto se puede hacer con el siguiente parámetro AreaUnderCurve(función, variable, limite inferior, limite superior)
En un ejemplo práctico:
AreaUnderCurve(2x^2 - 3x + 2, x, 0, 4)
Luego se elige la ventana Grafico 2D en la barra de herramientas, graficamos y obtenemos
Les dejo un link con ejemplos de cálculo de áreas mediante integrales definidas.
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